トップ理科総合A 改訂版2部 エネルギー・資源と人間生活>第1章 力学的エネルギー>第2節 仕事とエネルギー

2節 仕事とエネルギー

 

仕事

仕事という言葉は,日常用語としてもよく用いられているので,混同しないように十分に指導する必要がある。日常用語の仕事は,頭脳労働も含まれている。しかし,物理では,仕事という言葉をいわゆる力仕事の意味に限定して用いている。また,力仕事のうちでも,物を動かないようにじっと支えている場合や,物を手でぶら下げて等速で水平に運ぶ場合も,日常用語では仕事をしたというが,物理では仕事をしたことにならない。このように,物理で定義された仕事は,日常用語の一般的な仕事とは,必ずしも同じではないことを十分知らせる必要がある。

なお,人間が物を支えているときや,物を等速で水平に手でぶら下げて持ち運ぶ場合,人間の持つエネルギーは消耗する。

しかし,物を台の上に載せておけば,人間が物を支えている必要はなく,摩擦の無視できる台車があれば,それに物を載せて速度を与えてやることで,慣性の法則により力を加えなくても水平面上をどこまでも等速で動いていくことになる。

すなわち,人間が物を支えているときや,物を等速で水平に手ぶらで下げて持ち運ぶ場合,本来,エネルギーを消耗しなくても済むのである。よって,このようなとき,物に加えた仕事は0とするほうが合理的なのである。

 

仕事の表現……“何が”仕事をした,というか

「仕事をした」という場合の主語は,一般に力と考えてよい。しかしときには,「人が」などと表現する場合があり,生徒に混乱を与えないように意味をはっきりつかませる必要がある。たとえば,下図(a)のように0°≦θ90°の場合には,「力Fは物体にWだけの仕事をした」とか「物体は力FからWだけ仕事をされた」という。

 

一方,図(b)のように90゚<q 180゚の場合,cosq 0 であり,W0となり,「力Fは物体に負の仕事をした」とか「物体は力Fに逆らって仕事をした」という。

(a)で,力Fを物体に及ぼしているのが,たとえば,人間であることが明らかで,混乱する恐れのない場合は,「人間が物体にWだけの仕事をした」といってもよい。このとき,物体が人間に及ぼす力は,Fの反作用である−Fで,Fと大きさが同じで逆向きだから,物体は人間に負の仕事−Wをしたことになる。

なお,物体にいくつかの力がはたらいているときは,それぞれの力が,また,それらの合力がする仕事を考える。

 

ものを手で支えるときの仕事

私たちが手でおもりを持っているとき,物理的には仕事をしていなくても,生理的にはエネルギーが必要である。長く持ち続けると,汗が出たり,震えたり,呼吸が荒くなったりして,階段をかけ上がったときと同じになる。

机の上におもりを置いておくときは,エネルギーを供給しなくても,おもりを同じ高さにいつまでも支えることができるのに,人がおもりを持つ場合は,からだの仕掛けがエンジンをフルに動かしてはたらいているのはなぜだろうか。

人の腕の筋肉(骨格筋)1つの繊維に神経の刺激が達すると,その筋肉繊維はピクリと動いては緩む。だから,人が何かを手に持っていると,神経の刺激が次々とたくさんやってきて,ピクリ,ピクリが何回も起こっておもりを支えている。一方,他の筋肉は緩んでいるのである。このことは,重いものを持っていて疲れてくると,手がわなわなと震えだすことでもわかる。これは,刺激がやっているのが規則的でなく,その上,筋肉が疲れてきて,速く反応しなくなるからである。

このような筋肉のはたらきがあって,人は物を支えることができるのであるから,物理的に仕事をしていないときも,生理的なエネルギーが必要であり,エネルギー消費が起こるから,発熱・発汗することになる。

筋肉には,腕の筋肉のように,神経の刺激にすばやく応じ,思ったとおり動かすことのできる筋肉(骨格筋または黄紋筋)のほかに,腸の筋肉のように平滑筋といわれ,はたらきの非常に遅い筋肉がある。この筋肉は力がかかっても,何時間もその位置を保って疲れない。貝殻を閉ざしている筋肉(貝柱)もそれにあたる。

 

◆仕事の原理

てこ,斜面,輪軸,動滑車,ジャッキなどを用いると,小さな力で仕事をすることができるが,動かすべき距離が長くなり,仕事は変わらない。これを仕事の原理という。ただし,道具の各部の摩擦が無視できる場合のことである。仕事という量をFscosθと定義したことにより,仕事の原理やエネルギー保存の法則が成り立つことになり,物理的に意味のある量となったということもできる。

《てこ》支点までの長さをl1l2とすると

 

 

 

《斜面》斜面の傾きの角をqとすると,

 

 

 

《輪軸》軸の半径をRrとすると,

 

 

 

◆仕事率

「エンジンの出力が100馬力である。」というような表現は今でもテレビなどで耳にする。馬力も仕事率の単位であり,自動車のカタログなどでは,以前はこの馬力という単位を使っていた。現在ではkWを使う。1仏馬力(PS)735.5Wである。かつては,1英馬力(HP)=746Wも用いられた。

人間のする仕事率は長時間では平均すると100W程度,馬のする仕事率は1馬力(740W)程度といわれる。バイクも馬と同じ程度,オートバイは10kW程度,小型自動車は約100kW,電気機関車は約3000kW,大型船は約10kWである。

 

◆仕事率の測定

人が階段をかけ上がる場合の仕事率を求めてみよう。階段をかけ上がる場合,等速で上がるとすれば,力がつり合っていると考えられる。したがって,引き上げるときの力は重力に等しいとしてよい。

質量mkg〕の人が高さhm〕の階段をかけ上がるのに要した時間をts〕とすると平均の仕事率はmgh/tW〕となる。

男女数名を階段をかけ上がらせ,仕事率の違いを比較するとよい。もちろん,個人差はあるが,およそ300700Wである。

 

エネルギーの概念

エネルギーの概念は,物理学およびその周辺の科学において,特別の重要さをもっている。いろいろの現象や現象の間の関係を記述するために,種々の概念や量が必要であることはいうまでもないが,1つの系でそのエネルギーの性質が与えられると,それから逆に系の性質が決まる。とくに力学系のような単純なものにあっては,系のエネルギーを知ることによって,その行動の大勢を決定することができる。つまり,エネルギーという量はほかの物理量に見られない一種の総合的な性格をもっているのである。それは,エネルギーなる量が,つねに保存という性質をもっていることに起因する。われわれは系のエネルギーを勝手に定義しているのではない。ある量をエネルギーとよぶ場合は,系の変化を通じてその量がつねに保存されるようにエネルギーを定義しているのである。だから,物理学におけるエネルギー概念の重要さは,その保存という性質にあるといってもよい。

 

運動エネルギー

教科書の運動エネルギーの式を求める段階で,重要なことは,運動している物体にはたらく力の性質によって,はじめ速さv0の状態から物体が静止する状態までに,無数の多様な変化をなしうるにもかかわらず,その物体が他の物体にする仕事が初めの物体の運動状態だけで決まり,途中の変化には関係しないということである。

運動エネルギーとは,運動している物体が静止するまでに他の物体にする仕事のことであるが,物体が運動している状態から静止の状態に変化する間にする仕事が,途中の変化のしかたに関係なく一定であることが,運動エネルギーを定義できる条件であることに注意しなければならない。

 

仕事と位置エネルギー

本来,エネルギーとは仕事をする能力のことをいい,なしうる仕事の量によってその大きさが表される。位置エネルギーとは,ある力の場で,物体が現在の位置から適当に選んだ基準の位置まで移動する間に,物体がその力からなされる仕事が道すじによって変わらないとき,その仕事量を,その物体が初めの位置でもっていた位置エネルギーとする。したがって,重力の位置エネルギーについていえば,物体がある高さから基準の高さまで移動するとき,重力が物体にする仕事の量が,物体が初めの位置にあったときにもっていた位置エネルギーである。

一般に,ある力の場の中で物体が移動するとき,移動の道すじによってその力のする仕事が変わらないとき,その力は保存力であるという。位置エネルギーが定義できるのは,力が保存力の場合だけである。保存力の例としては,重力(万有引力)のほかに,ばねの弾性力,静電気力などがある。摩擦力や空気の抵抗力は,出発点と終点が決まっても,移動する道すじによって仕事が変わってくるので,保存力ではない。すなわち,これらの力は位置エネルギーを定義できない。

 

重力による位置エネルギー

位置エネルギーが,その物体の動く速さや動いた経路,動いた時間や時刻によらず,物体の占める位置だけによることから,「物体がもつ」という表現では実感的に捉えにくい。その量が物体の位置によるのであれば,当然,物体のみを考えるのではなく,物体の空間的な位置が問題であり,物体を含む重力のはたらく空間(場の考え)1つの系として考えなければならない。物体を持ち上げるとき,仕事が必要ではない空間では,位置エネルギーは考えられない。「持ち上げる」という表現には,物体にはたらく重力がいつも真下を向いているという空間(重力場)が物体を取り巻いているという事実がその前提としてある。重力による位置エネルギーは,その物体の中に蓄えられているのではなく,物体と,それを取り巻く重力場を一体と考え,地面と,持ち上げられた物体との間の空間(重力場)の中に蓄えられていると考えるべきものである。

 

位置エネルギーの担い手

教科書p.112L56で「物体が他の物体に仕事をする能力をもっているとき,その物体はエネルギーをもっている」と記した。この定義は初学者にとっては入りやすい定義であるが,「物体がエネルギーをもつ」という表現を引きずると,後で混乱が生じる。

物体のもつ運動エネルギーは,その物体の動きから容易に「物体がもつエネルギー」として実感できる。しかし,重力による位置エネルギーの場合は,位置エネルギーを物体がもつとしたのでは,重力落下の際には自分で自分に運動エネルギーを与えたことになり,「他の物体に仕事をする能力」といえなくなり,生徒に混乱をきたす。かといって,初めから「重力場のエネルギー」という考えを導入するのは,初学者には把握しにくい概念であるので避けたい。

しかし,いずれは(最も早い段階としては力学的エネルギー保存の法則を学んだあたりで),重力場のエネルギーとして理解し直すべきものである。

一方,弾性力の位置エネルギーの場合は,ばねという実体のあるものの変形から「ばねがもっているエネルギー」として容易に想像できる。そこで,弾性力による位置エネルギーを「縮んでいる,または伸びているばねは他に対し仕事をすることができる,すなわち,弾性エネルギーを持っている。」という進め方をした。

このように,弾性力の位置エネルギーを「ばねにつけられた物体がもつエネルギー」とはせず,「ばねに蓄えられたエネルギー」として,弾性エネルギーを同義語としたのは,2つの用語を区別し,両者の担い手が異なるかのような表現をすることは,生徒に2つの種類の異なるエネルギーが存在するかのような誤解を与える恐れがあると考えたからである。

 

◆弾性力による位置エネルギー

ここでは,話の流れとしては,縮んでいる,または伸びているばねの弾性力は仕事をすることができるので,弾性力による位置エネルギーが定義されるということになろう。

縮んでいる,または伸びているばねがする仕事を求める過程は,力の大きさが一定でないときの仕事を求める過程の始めての経験になるので,F-xグラフの面積となることをよく理解させたい。

まず,力の大きさが一定のときの仕事WFxは,縦軸に力を横軸に変位をとってグラフを描くと,グラフと座標軸で囲まれる面積が仕事の量Wを表すことを説明する。次いで,教科書p.11532ように,区分求積の考え方を用いて,

 

 

と説明することになる。ただし,生徒の実情によっては,「平均の力1/2(kx0)1/2kx 」を使って,

 

というおさえ方でもよい。

 

仕事と運動エネルギーの一般的な関係について

平面上を運動する物体の運動方程式は,

 

 

となるから,これらの式のそれぞれにを掛けて,辺々加えると,

 

 

これを書き直すと,

 

 

したがって,

 

 

両辺を積分すると,

 

 

すなわち,教科書p.113の式(12)が一般的に成り立つことがわかる。この関係式をエネルギーの原理ということがある。

この式は,“外力がはたらいて物体が仕事をされると,その仕事に等しい量だけ運動エネルギーが増加し,逆に,物体の運動エネルギーが減少するときは,その減少量だけ物体は外部に仕事をする”ことを意味している。

この関係において大切なことは,初めの速さv0の状態からvの状態になるまでに,物体にはたらく力の性質によって無数に多様な変化がありうるにもかかわらず,その間に物体になされる仕事は,v0vの大きさだけで決まるということである。逆にいえば,運動エネルギーは,運動する物体の途中での状態の変化のしかたには無関係に,vだけによって決まるということである。

 

力学的エネルギー保存の法則

まず,自由落下運動について,運動エネルギーの変化と仕事の関係を求める。この関係は,物理Tでは,等加速度運動の式から求めることができるが,理科総合Aでは等加速度運動を扱っていないので,まだ求めることはできない。この関係式は,位置エネルギーから運動エネルギーへの変換と捉え直すことができ,さらに,移項して,力学的エネルギーの保存と捉えることができる。

そののち,糸の引く力,あるいは面の垂直抗力がはたらいていても仕事しないときは,同様の関係が成り立つことを調べて,力学的エネルギー保存の法則の理解を深めることができる。

力学的エネルギー保存の法則は,運動方程式を一度積分したものにほかならないが,運動方程式が数学的に正確には解けない場合でも,運動する物体の位置と速さの関係が明らかになるので,力学の問題を解く上できわめて有用である。

 

◆保存力と非保存力

物体を移動させたとき,ある力のする仕事が途中の道筋によらないで決まる場合,その力を保存力という。重力,弾性力,万有引力,静電気力は保存力である。それに対して,たとえば動摩擦力の場合,始点と終点を決めても,移動距離が長くなれば動摩擦力のする仕事の絶対値は大きくなる。このように,物体を移動させるとき,力のする仕事が,途中の道筋によって異なる力を非保存力という。非弾性衝突をするときにはたらく力も非保存力である。

力が保存力の場合,基準点を定めることで力のする仕事が決まるから,物体が初めにあった位置で力のする仕事が決まってしまう。このとき,物体を点Aから基準点Oまで移動させたとき,力がする仕事を,点Aに物体があるときの位置エネルギーと定めることができる。すなわち,保存力の場合は,物体の位置を決めるだけで,力がする仕事の量が決まってしまうので,位置エネルギーを定めることができるのである。

この場合は,

(力がする仕事)=(位置エネルギーの減少分)……@

という関係が成り立つことになる。

一方,運動方程式を積分することにより,

(運動エネルギーの増加分)=(力がした仕事)……A

の関係が成り立つから,式@,Aより,

(運動エネルギーの増加分)(位置エネルギーの減少分)……B

すなわち,

(運動エネルギー)(位置エネルギー)=一定

という力学的エネルギー保存の法則が成り立つのである。なお,式Bはエネルギーの変換を表しているといえる。

力が非保存力の場合は,式Aは成り立つが,力のする仕事を,式@のように位置エネルギーの減少分に書き換えることができない。よって,力学的エネルギー保存の法則は成り立たない。この場合は,式Aを用いてエネルギーの計算を行わなければならない。

以上の関係からわかるように,

力学的エネルギー保存の法則が成り立つのは,保存力のみが仕事をする場合(非保存力が仕事をしない場合)である。

ということができる。

 

力学的エネルギーが保存されない場合

たとえば,摩擦力が仕事をするときには,教科書p.118(17)に示したように,

(力学的エネルギーの変化)(動摩擦力のした負の仕事)……C

となるが,これは前記の式Aに対応する式となる。ここで,

(動摩擦力のした負の仕事)(物体が動摩擦力に逆らってした仕事)

(摩擦によって熱になったエネルギーなど)

であることを考慮すると,

(初めの力学的エネルギー)

(後の力学的エネルギー)(摩擦によって熱になったエネルギーなど)

となることがわかり,全エネルギーが保存することがわかる。

 

摩擦力のする仕事

水平面上の2点,A点からO点まで物体を移動させるとき,物体にはたらく動摩擦力はつねに物体の速度とは逆向きである。したがって,物体の移動した経路の長さをsとすると,動摩擦力Fのする仕事Wは,

WFscos180°=−Fs

となり,│W│の値は物体の移動した経路の長さsによって異なり,始点Aと終点Oを決めただけでは決まらない。すなわち,動摩擦力は非保存力である。

このような非保存力のする仕事が0でない場合は,力学的エネルギーが保存されない。すなわち,動摩擦力以外の力が仕事をしないとき,

(物体の運動エネルギーの変化)(動摩擦力のした仕事)

(動摩擦力の大きさ)×(距離)×cos180°

=−(動摩擦力の大きさ)×(距離)0

このように,動摩擦力が加わると,普通,運動エネルギーが減少する。一般に,動摩擦力のほかに,重力などの保存力がはたらいている場合は,力学的エネルギーが(動摩擦力)×(距離)に等しい分だけ減少する。したがって,

(力学的エネルギーの変化)(動摩擦力のした仕事)

すなわち,

(力学的エネルギーの減少分)(動摩擦力の大きさ)×(距離)

という関係が成り立つ。

 

 

 エネルギーと運動量――2つの保存量の発見

力学における保存の法則の確立という点で歴史的な興味があるのは,デカルト(R.Descartes15961650)とライプニッツ(G.W.Leibniz16461716)の主張である。デカルトは,運動物体に含まれる「力」(vis motrix動力)が,その物体の質量mと速度vとの積mvで与えられると考えた。ところが,ライプニッツは,自由落下する物体の運動において,物体をある高さだけ持ち上げるときに要する仕事が同じなら,逆にその物体が地上に到達したときに得る「力」が等しいはずだと考えた。ガリレイの落体の法則より,この仕事がmv2に比例するので,mv2が「力」(vis viva活力)を表すものと主張したのである。

これから,運動物体に内在する「力」の表現についての長い論争が始まった。しかし,今からみれば,この論争には,2つの違った内容があることが明らかである。そして異なったものを同じような名前でよぶことに混乱の原因があった。デカルトの考えた「力」と,ライプニッツの考えた「力」とは本来違う量である。さらに,現在ニュートン力学の意味でわれわれが力とよぶ量は,両者のいずれとも異なる量である。デカルトの導入した量を運動量とよび,ライプニッツの導入した量に相当する量を運動エネルギーとよぶことは,今日の常識になっている。

mv2のかわりに1/2mv2という量を導入して,それを活力とよんだのはコリオリ(G.G.Coriolis17921843)である。19世紀半ば,熱力学の第1法則が確立された当時も,エネルギーに相当するものを力とよぶ習慣が強かった。

以上の説明で,運動物体のもつ量とか,運動物体に内在する量とかいう言葉は,これを適当に解釈すれば,保存する量を意味することになる。そして運動量もエネルギーもそれぞれ保存の法則を満たす量である。ニュートン力学が確立する以前に,運動量の保存とエネルギーの保存とが,あいまいな形であるが,ある程度予想されていたということは,歴史的にみてまことに興味深い。

参考文献;「初等物理学講座4(小山書店)

 

 

 

 








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