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2節 磁界中を運動する導体の棒

 

磁界中を動く導体棒に生じる起電力

電磁誘導とエネルギーの保存

モーターの原理

 

 

磁界中を動く導体棒に生じる起電力

部屋に固定した短いコイルに一定の電流を流して磁界をつくる。磁界は図のように一様ではなく場所によって異なるが,時間とともに変化しないものとする。抵抗rΩ〕の導線でループをつくり,この磁界の中を速度m/s〕で並進運動をさせよう。ループには誘導起電力V(V=−ΔΦ/Δt)〔V〕が生じ,誘導電流IA〕が流れる。

IV/r ……(1)

この誘導電流の生じるメカニズムを考えてみよう。導線が金属の場合,電流は自由電子(mkg〕,−eC)の流れである。その流れの速度をm/s〕としよう。自由電子は,次の力を受けながら流れていると考えられる。

@ 磁界の中を自由電子は運動しているので,磁界からローレンツ力N〕を受ける。自由電子の速度はm/s〕で表せるので,磁束密度T〕の場所で受けるローレンツ力Fは,

A 陽イオンと衝突しながら自由電子は流れていくので,抵抗力〔N〕を受ける。抵抗力の向きは流れの速度と逆向きであり,その大きさは流れの速さuに比例する。

B 導線各部の帯電により,導線の内部や外部に電界が生じる。この電界から自由電子が受ける力N〕は,電界の強さ〔N/C〕の場所では

 

 

これらの力の中で抵抗力はつねに電流方向にはたらくが,他の力は電流方向にはたらくとは限らない。たとえばローレンツ力はつねに電流と垂直にはたらく。また,導線のそれぞれの場所でローレンツ力の向きを調べてみると,この力は電流の方向とそれに垂直な方向の両方に成分をもっていることがわかる。電界からの力も両方の成分をもっている。

電流と垂直な方向にはたらくローレンツ力は,自由電子をその方向の導線表面に集めて,導線の表面に正と負の電荷分布を形成すると思われる。これらの電荷分布は,電流と垂直な向きの電界をつくるだろう。

電子の運動は等速度運動ではないが,電子の質量はきわめて小さいので,これらの力の和は0であると見なしてよい。

これより,

 

ここで,この(3)式の,ループに沿った正の向きの線積分を考えよう。ループの線要素をとすると,(3)式第1項のと垂直になるから,

2項の速度の向きは,図を見るとわかるように,と逆向きである。また,その大きさuは,導線の断面積が一様であり,その材質が均質の場合には,導線のどの場所でも同じであると考えてよい。したがって,ループの長さをlm〕とすると

3項の電界は導線に帯電した電荷のつくる電界であるから,

したがって,式(3)のループに沿った正の向きの一周積分は次式で表される。

 

導線を流れる電流IA〕や導線の抵抗rΩ〕は,自由電子の個数密度n1/m3〕,

導線の断面積S〕を用いて

 

(7)(8)より,

 

この式を式(1)と比較すると,ループに生じる誘導起電力VV〕は,

 

であることがわかる。式(4)を考慮して,(10)式は

 

と書き改めることもできる。これは,ループの各部分で単位正電荷あたりが受けるローレンツ力を,ループに沿って一周積分したものがループに生じる誘導起電力に等しいことを示している。

 

 

次に,式(10)と電磁誘導の法則の関係を調べよう。ループを貫く磁束をΦWb〕とし,その単位時間あたりの変化をΔΦ/Δtで表す。式(10)の右辺は−ΔΦ/Δtに等しいことを,数学的に証明することができる。

数学の公式により

ここで,ベクトルの大きさは,ループが並進運動するとき,その線要素が単位時間に描く面積であり,このベクトルの向きは描く面積に垂直である。したがっては,線要素が単位時間に横切る磁束を意味する。図を見るとわかるように,この横切る磁束は,ループを貫く磁束ΦWb〕の単位時間あたりの増加分に寄与する。また,ループの左側の線要素が横切る磁束は,Φの増加分に負の寄与をする。各部分の寄与をループ全体にわたって総計すると,

すなわち,

電流を流し続けることについて,@〜Bの力はそれぞれどのような寄与をしているのだろうか。単位正電荷あたりの電流方向への力を,導線のいろいろな場所で調べてみよう。話を単純にするために,磁界の中のループは正方形(一辺の長さdm)にし,ループの面は磁界と垂直にする。この姿勢を保ちながら,図のように,ループを右方へ速度vで並進運動させる。

この図を見ると,電流を流し続けることについて,ローレンツ力は,場所によってはまったく寄与せず,また,場所によっては負の寄与をすることがわかる。ループ全体にわたる寄与は

vB1dvB2dvd(B1B2)0

抵抗力の寄与はどの場所でも負であり,その総計は−Irである。電界の寄与はすべての場所で0になるということではない。電界Eは,ある場所では正の寄与をし,別の場所では負の寄与をして,ループ全体にわたる寄与が0になるのである。

(1EE2E)d0

最後に,教科書p.1525の回路について考えてみよう。ローレンツ力は,導体棒(長さlm)上だけではたらき,電流を流し続けることにvBlの正の寄与をする。抵抗力は,抵抗部分R(電気抵抗RΩ)でのみはたらき,電流を流し続けることに−RIの負の寄与をする。電界Eは,運動する導体棒では負の寄与−Elをし,抵抗部分(長さl´m)では,E´l´の正の寄与をして,全体としての寄与は0になる。

 

電磁誘導とエネルギーの保存

導体棒や磁石,コイルなどを外力で動かすことで電磁誘導が起こり,誘導電流が流れるとき,導体棒などが磁界から力を受ける場合は,その力は必ず移動を妨げる向きとなる。抵抗のあるところで誘導電流が流れればジュール熱が発生する。それで,もし,導体棒などが磁界からその移動を促進する向きに力がはたらくとすれば,導体棒に初速度を与えてやれば,後は外力を加えなくても導体棒が自動的に動いていき,ジュール熱が発生し続け,全体としてエネルギーが増大することになり,エネルギー保存の法則に反することになるからである。

したがって,発電機から電気エネルギーを取り出しているときは,外力を加え続けて仕事をし続けなければならない。その外力がする仕事は,発電機内部のコイルの抵抗による発熱と外部に取り出す電気エネルギーとなっている。

発電機の原理は,教科書p.1548のように,磁界のあるところにコの字形の導体回路を置き,その上で導体棒を外力Fで動かすものである。実際の発電機では,導体棒が回転するコイルになっている。

このとき,導体棒の長さをl,導体棒の速さをv,流れる電流をI,発生する電圧をVとすれば,単位時間当たりに外力がする仕事Pは,

PFv(IBl)vI(vBl)IV

となり,単位時間当たりに発生する電気エネルギーIVに等しくなる。すなわち,エネルギー保存の法則が成り立っていることがわかる。

このとき,導体棒が磁界から受ける力f(IBl)は,フレミングの左手の法則より,導体棒が動くのを妨げる向きとなることが分かる。

 

モーターの原理

電気エネルギーを加え,電磁力を利用して力学的仕事をするのがモーターである。モーターの原理は,教科書p.155の図のように,磁界のあるところで,コの字形の導体回路を置き,その上に導体棒を置いたものである。実際のモーターでは,導体棒が回転するコイルになっている。

このとき,導体棒(モーターの回転子に相当)に加える電圧をE,導体棒に発生する誘導起電力をV,導体棒の抵抗(モーターの内部抵抗に相当)R,流れる電流をIとすると,回路の電圧より,EVRIとなる。また,導体棒の速さをvとすると導体棒に発生する誘導起電力(モーターの回転子に発生する誘導起電力に相当)VVvBl,導体棒が磁界から受ける力FIBlとなる。したがって,単位時間当たりにモーターに加える電気エネルギーはPは,

PEI(VRI)IVIRI2(vBl)IRI2(IBl)vRI2FvRI2 ・・・@

となる。ここでFvはモーターが単位時間当たりにする仕事であり,RI2はモーター内部で単位時間あたりに発生するジュール熱である。したがって,@式は,

(電気エネルギーEI)(モーターがする仕事VI)(モーター内部の発熱RI2)

を関係を表している。

このことから,モーターを空転させているときや,過負荷の状態を考えることができる。まず,モーターを空転させているときを考えよう。モーターの回転軸の摩擦が無視できるとき,モーターがする力学的仕事Fv (VI)0である。しかし,モーターのコイルは回転しているので誘導起電力V0ではない。よって,流れる電流が0とならなければならない。

また,モーターに負荷をかけ過ぎるとモーターが焼損することがある。これは,次のように考えることができる。負荷をかけるとモーターの回転が遅くなり誘導起電力Vが小さくなる。極端な場合,モーターが回転できなくなると,誘導起電力VV0となる。そのとき,回路の電圧の関係EVRIより,抵抗にかかる電圧RIが最大となり,モーターに流れる電流Iが最大になる。その結果,モーターの単位時間当たりの発熱RI2が最大となるので,モーターが焼損したりするのである。

教科書p.143のやってみよう「電磁誘導」のBの場合,電池,直流モーター,豆電球を直列に接続した回路で,モーターを空転させているとき豆電球が光らないのは,回路を流れる電流がほとんど0になるからである。また,モーターの回転を止めると,誘導起電力が0となり,モーターの内部抵抗が0の場合電池の電圧のすべてが豆電球にかかることになり,回路を流れる電流が最大になって,豆電球が明るく光るのである。

 

 

 

 









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