トップ物理II 改訂版2 電気と磁気>第1章 電界と電位>2節 電界

2節 電界

 

 クーロンの実験

 クーロンの実験以前の話題

クーロンの法則の式

 電気力と万有引力

 電気力に関する「遠隔作用」論と「近接作用」論

電界の定義

電界の重ね合わせの原理と

電気力線による静電気力の説明

電気力線の2次元表示の問題

ガウスの法則

ガウスの法則を用いた電界の求め方

静電起電機

 

 

 クーロンの実験

クーロンの初期の研究は,針金のねじりの弾性に関するものであった。細長い針金の下端に円柱形のおもりをつるし,ねじり振動の周期を測定し,その結果,ねじりの弾性力はねじりの角度と直径の4乗の積に比例し,針金の長さに反比例するという関係を見いだした。彼はこの研究によって,細い針金を使えば微小な力を測定できることを知った。そこで彼は,のちに教科書p.777のような装置を作って,2つの小さな帯電体間にはたらく電気力の測定にかかった。図1の装置の本体は,直径,高さともに約30cm(1フィート)のガラス製円筒で,その上に長さ60cmのガラス管を接着してある。全体で約1mの高さの相当大きなものであった。

装置の中央部には上から細い銀線がつるしてあり,銀線の上部が固定されたつまみを回すことによって,銀線にねじれを与えることができる。回転角は,角度目盛り円板の上の指針の位置によって読みとることができる。銀線の下端には絶縁物の細い棒が水平に取りつけられている。この棒はろうで固めた絹糸(またはろうを塗った麦わら)で,帯電体を取りつけた側の約4cmの部分はシェラック(貝殻虫の殻)の中空の細い管を用いた。帯電させる球は,直径約6mm程度のものである。反対側の紙の円板はつり合いのおもりと振動を減衰させる役目を兼ねる。

クーロンの行った実験の手順は次のようなものであった。球ABとはあらかじめ接触させておく。このとき銀線はねじれのゆがみをもたない。次に絶縁物の棒で支えた別の導体球を帯電させ,ふたの穴から挿入して球Bに触れる。すると,ABは同符号に帯電してただちに反発する。次に,装置上端のつまみを回転させて,2球の間隔が角度にして18°および8.5°まで近づけるには,つまみを何度回さなければならないかを測定した。その結果は次のようなものである。

(a) 最初,AB2球に電荷を与えたとき,この2球は角度にして36°離れた。

(b) 次に,これを18°に近づけるには,上端のつまみを126°回す必要があった。

(c) 8.5°にするには,567°回す必要があった。

初め,電荷を与えていないとき,銀線にねじれはなかったから,(a)の状態での銀線のねじれは36°で,両球の間隔は角度にして36°であった。(b)では,銀線のねじれは126°+18°=144°であり,間隔は18°である。(c) では銀線のねじれは567°+8.5°≒576°,間隔は8.5°である。実は,このねじれの角36°,144°,576°は122242の比になっている。これに対し,角度で測った2球の間隔36°,18°,8.5°は,421の比になっている。したがって,反発力は距離の2乗に反比例すると結論したわけである。

クーロンの法則は,きわめて厳密に成立する法則であって,1870年には,マクスウェルによって,キャベンディッシュの測定が再検証され,方法も改良されて,力が距離rに対して,1/r2nに比例するとしたとき,│n│は1/21600以下であることが確かめられた。その後,1936年には,│n│は2×109以下であることが,同様の方法でプリンプトンとロートンによって確かめられた。

 

 クーロンの実験以前の話題

 ニュートンの運動の法則と万有引力の法則とは,17世紀後半には確立されていたので,静電気の時代の帯電体の間ではたらく力についても,ニュートンの影響を無視することはできない。

1765年フランクリンは,中空導体の内部にはどこにも電荷が存在しないことを見いだした。友人のプリーストリー(Priestly1733-1804)は,その結果を聞き,ニュートンの「プリンキピア」を思い出し,電気力も距離の2乗に反比例するであろうと考えた。ニュートンは「プリンキピア」の中で,球殻の理論を述べて,球殻の内部では万有引力が互いに打ち消し合う,という数学的な証明を与えていた。そこで,プリーストリーは1766年に金属の容器に小窓をあけ,これに電気を与えたあと,この小窓から内部を探ってみた。このとき小窓の付近を除けば電気力ははたらかないことを確かめた。プリーストリーはこの事実から,電気力も万有引力と同様,距離の逆2乗の法則が成立すると信じた。

キャベンディッシュは,プリーストリーとは独立に図のような装置を用いて,1772年に実験を行っている。

 

まず,導体球の上に重なる半球2個を作り,これを被せたまま帯電させたあと,これを取り除いて,内部にあった球に電気があるかないかを調べたのであった。これの検出には,木髄の小球2個をガラス棒の先端に糸でつるしたものが用いられ,その開きで電気の多少を調べることができる。キャベンディッシュは,検出の精度から考えて,電気力は距離の逆2乗則に従うこと,もし2乗からのずれがあったとしても,50分の1以下であると結論した。もし50分の1以上であれば,内部の球に残る電気量も初めの50分の1以上になり,検出できるはずだと考えた。キャベンディッシュは,その論文を公表しなかったので,1879年にマクスウェル(J.C.Maxwell1831-1879)によって紹介されるまで,約100年間世に知られなかった。

 

クーロンの法則の式

教科書では,クーロンの法則の公式として,電気量に絶対値記号をつけた形で掲載した。これは,ある程度学習が進んだときに,+−の符号で無用の混乱を招かないようにという配慮である。

絶対値記号をつけずに

 

として公式を紹介し,q1q2が同符号の時はF0で,これは斥力を意味し,q1q2が異符号のときはF0で,これは引力を意味するという考え方がある。これは,電荷が2つだけしかないときは,システマティックであり,わかりやすいのだが,電荷が3つになると,符号の意味に混乱をきたすことがある。たとえば,下図のように電荷が分布しているとき,q2にはたらく力を求めるという問題を考える。

 

q1q2に及ぼす力F1

 

q3q2に及ぼす力F2

 

F1F2は,同じ向きの力でありながら,一方は+で,一方は−であるということになる。物理でよくある符号のルールは,右向きを正とするなら左向きは負のように定められる。その考え方に慣れた生徒には,同じ向きなのに符号が違うというのは混乱でしかない。

そこで,クーロンの法則を扱うときには,向きと大きさを別々に扱うように指導するとよい。すなわち,クーロンの法則で計算されるのは,力の大きさのみであり,符号は別途,図を描いて理解する。上の例題の場合は,q1q2に及ぼす力は

大きさ:   向き:図の右向き

 

q3q2に及ぼす力は

大きさ:    向き:図の右向き

 

と考える。

 

 電気力と万有引力

近代物理の言葉でいえば,無限に遠い距離まで及ぶ力は,その強さが距離の2乗に逆比例することになる。現在知られている4つの基本的な力のうち,素粒子や核子間の「強い力」と,原子核のβ崩壊などに関与する「弱い力」は,力の到達距離が原子核の大きさ程度である。一方,残りの電磁気力(電気力と磁気力)と重力(万有引力)は,距離の2乗に逆比例し,無限に遠い距離まで及ぶ力である。つまり,原子から宇宙までを支配するのは,電磁気力と重力の2つである。

クーロンの法則で表される電気力と万有引力は,ともに力の強さが距離の2乗に逆比例し,2つの点電荷あるいは2つの質点を結ぶ直線の方向にはたらく中心力であり,類似性が高い。−方,その違いは,力の大きさに桁違いの差があること,および,電気力に引力と斥力があるのに対して万有引力が引力しかないこと(あるいは,電荷には正負があるのに,質量には負がないこと)である。プラスチックの下敷きに発生したわずかな静電気力で,地球全体が生み出す重力に打ち勝って金属はく片などの軽いものを持ち上げることができるが,これは電気力の強さによるものである。また,電気力の引力と斥力の微妙なバランスのおかげで,原子や分子が存在し,化学反応や生物の存在が成り立つ。なお,桁違いに強い電気力が天体の世界で表に出ないのは,正負の電気がほとんど等量あり,マクロには電気力が打ち消し合ってしまうのに対し,万有引力が質量の集合に伴ってどんどん大きくなるからである。

 

 電気力に関する「遠隔作用」論と「近接作用」論

クーロンが2つの電荷の間にはたらく力を法則の形で表したとき,彼は力の大きさと電荷相互の距離に着目したが,その力がどのようにして一方の電荷から他方の電荷に伝達されるかについてはあまり考察しなかった。たぶん彼は,当時万有引力について考えられていたように,電気力を遠隔作用(action at distance)として考えていたのであろう。それ以前の人たちは,力は物体が接触している場合にのみ作用させることができると考えていた。しかし,ニュートンの万有引力の発見により,互いに接触していない天体相互間にも引力がはたらくことが明らかになり,クーロンの時代には,離れた2つの物体間にも力が直接作用することを不思議とは思わないようになっていた。これが遠隔作用であり,物体が2つ以上あれば,相互間に引力または反発力が直接はたらくという考えである。

ところが,直観的理解を重視するファラデーには,途中に力を伝える媒体がないのに,離れた2物体間に力が作用することは想像できなかった。ファラデーは,電荷相互の間にはたらく電気力は,遠隔作用によるものではなく,1つの電荷の存在によって,その周囲の空間にある種の「歪み」が生じ,この「歪み」のために他の電荷に電気力が作用すると考えた。この「歪み」は,電気力は引き伸ばされたゴムひものように,長さの方向には縮もうとする力がはたらき,これと直角な方向には互いに反発しようとする性質をもった力線(1ine of force)で表された。ファラデーにとって,電荷の周りの空間はこの力線で満たされていたのである。この考えを,遠隔作用に対して近接作用(action through medium)とよぶ。

遠隔作用論と近接作用論とで立場が大きく異なるのが,作用の伝わる速さである。遠隔作用論の立場からは,離れた物体どうしは「直接」作用し合うのだから,その作用は瞬間に(無限大の速さで)伝わることになる。−方,近接作用論の立場からは,場を通して作用が伝わるのだから,作用は有限の速さで伝わると考えるのが自然である(無限大の速さで伝わると考えるのなら,場を考える意味はないともいえる)。したがって,近接作用論では,電界をつくる電荷が振動を始めると,離れたところにある別の電荷は遅れてその影響を受けることになる。

マクスウェルによって,ファラデーの考えた電界・磁界の考え方が近接作用論の立場からマクスウェルの方程式としてまとめられ,電磁波の存在が予想された。有限の速さをもつ光・電波などの電磁波の存在が実証されたことにより,近接作用論が確立され,電界・磁界の実在が確認されたのである。

なお,現在は,電気力に限らず,すべての相互作用が近接作用として捉えられている。

 

電界の定義

電界はelectric fieldの訳語である。工学の分野ではfieldを「界」と訳すが,理学の分野では「場」と訳すことが多い。「場の理論」などというのはこの類である。一般に,ある物理量が空間の各点の座標と時間の関数として,与えられるとき,この空間をその量のfield(界または場)という。

さて,電界があるかないかは,そこに小さな電荷(試験電荷)をもちこみ,力が作用するかどうかを確かめればよい。そして,電界の強さは1Cあたりに作用する力の大きさで表す。ここで,試験電荷を小さな電荷とするのは,もしこれが大きければ,はじめの電荷分布が試験電荷の電界によって変わってしまうからである。

 

電界の重ね合わせの原理と 

電界の重ね合わせの原理は,ある電荷に複数の電荷が及ぼす電気力の独立性に由来する。だが,それは自明なことではなく,あくまで実験によって調べられるべきものである。電界がベクトル量として扱えるのも,この実験的な裏づけによる。

さて,クローンの法則より,1つの点電荷がつくる電界について,の関係が成り立つことはすぐ導ける。任意の電界でこの関係が成り立つことは,電界および電気力の重ね合わせの原理を用いれば示すことができる。

まず,電界の重ね合わせの原理より,電荷QlQ2Q3,……が,ある点Bにつくる電界E()は,各電荷が単独に存在した場合に点Bに生じる電界,……のベクトル和であり,

次に,点Bに点電荷qを置いたとき,それにはたらく静電気力をとして,電荷QlQ2Q3,……がそれぞれqに及ぼす静電気力をとすれば,これと同様にしてである。ここで,単独の電荷がつくる電界についてはが成り立つ。よって,

一般に,物体に帯電した連続的に分布する電荷がつくる電界でも,それらの電荷は点電荷の集合したものとみなせるから,この関係はどのような電界でも成り立つ。

 

電気力線による静電気力の説明

ファラデーは,電気力線が次に示すような性質をもったゴムひものような実体である,と考えることにより,電荷どうしの静電気力の向きや電気力線自身の分布の特徴をうまく説明できることを示した。

@ 電気力線自身には張力がはたらく(1本の電気力線はできるだけ短くなろうとする)

A 隣り合う電気力線間には斥力がはたらく(隣の電気力線とは互いに離れようとする)

たとえば,2つの異符号の点電荷の間にはたらく静電気力と電気力線の分布は,次図のように説明できる。

 

電気力線の2次元表示の問題

電気力線は,もともと3次元の空間に広がるものであるから,電界の方向と強さをどちらも正確に表すように,2次元の紙面上に図示することはできない。

1は,それぞれの点電荷から四方に均等に出た電気力線を,その場所の電界の方向に少しずつ伸ばしていき,描いたものである。3次元空間ならば,この方法で正確な電気力線分布が得られるはずである。しかし,図1の見かけの電気力線密度は,電界の強さを正しく表していない。

たとえば,2個の点電荷ABの間隔をaとしたとき,Bから右へ距離a/2C点とABから等距離aだけ離れたD点の電気力線の密度を比べると,図ではD点のほうが密になっている。ところが,ABの電荷をqとしてそれぞれの点での電界の強さを計算してみると,

 

C点では,

D点では,

 

となり,ECEDで,実際には逆である。

これについては,次のように説明できる。図1の電気力線はABを結ぶ直線を軸として軸対称になっており,D点での電気力線の密度は図2の環状の帯(斜線)について,通過する本数を面積で割ったものになる。ここを通る電気力線はBを出るとき対称軸となす角が小さいものに限られ,本数はわずかである。図1のように描くと電気力線の間隔は狭くなるが,実際の面積密度は小さい。

Bのごく近くでは,Bの電荷がつくる電界に比べてAのつくる電界は無視できるので,電界は点Bについて球対称である。したがって,Bからは四方八方へ一様に電気力線が出る。つまり,ある立体角について1本ずつの電気力線が出るように描かねばならない。その立体角の中に実際は広がって出る電気力線を1本で代表させて描いてある。その代表の1本が紙面上に描かれるので,3次元の実際の面積密度を反映しないこのような部分が見られるのである。

よって,教科書p.8312では,3次元空間の電界の向きを正確に表さないが,その場所の電界の強さが定性的にわかるようなものにしてある。

 

ガウスの法則

クーロンの法則は遠隔作用的な形で書かれているのに対し,これを近接作用論的な見方で捉えたものが,ガウスの法則である。

ファラデーとマクスウェルは,真空はある種の媒質で満たされていて,電荷が存在すると,その媒質が分極を起こすと考えた。その分極の向きに接線を考え,この接線をつないで得られる曲線を電束線といった。電束線の密度(電束密度)をDとする。いま,適当な電荷を囲む任意の閉曲面Sを考えたとき,Sを貫く電束線の密度Dを面積Sで面積分したものが,Sに囲まれた領域の全電荷量に等しい。

 

これを,ガウスの法則という。ガウスの法則は,S内に複数の点電荷がある場合や,電荷が連続的に分布する場合にも成立することがわかっている。

電界の強さE4πk0Dと置けば,ガウスの法則はクーロンの法則と一致する。

教科書p.8384の考え方は,単位電気量から出る電気力線の本数を定めるといった形で記述されているが,本質的にはガウスの法則を説明したものと考えてよい。

なお,現在では真空を満たす媒質の存在は否定されているが,ガウスの法則そのものは電磁気学の基本法則の一つと捉えられている。

 

ガウスの法則を用いた電界の求め方

教科書p.84には,ガウスの法則に相当する内容が書かれている。帯電体のつくる電界をガウスの法則を用いて求めるには,次の@〜Cの過程で考える。

@ 電荷分布の対称性から,電気力線の様子を推定する。

A ガウスの法則を適用するのに都合のよい閉曲面Sを決める。

B ガウスの法則を用いて,Sを貫く電気力線の総数Nを求める。

C Nの値を用いて,S上の1m2あたりを貫く電気力線の数を求める。この値がS上の電界の強さEになる。

 (1) QC〕の電荷が帯電している導体球

@ 球対称(どちらから見ても放射状)

A 半径rm〕の同心球

B N4pk0Q

C 

 

球の中心に+QC〕の点電荷があるときの電界と同じになっていることがわかる。


(2)面密度sC/m2〕の電荷が帯電して

いる十分に広い導体板

@ 面対称(板に垂直)

A 底面積煤km2〕で板に垂直な円柱

B N4pk0s

C 

 

一様な電界で,板からの距離によらない。

 

 

静電起電機

静電気を機械的に運搬して,直流高電圧を発生させる機械。ウィムズハースト起電機,バンデグラフ起電機の原理を次に示す。

 

ウィムズハースト起電機

() プラスチック円板に貼りつけたスズはく@に負に帯電したエボナイト棒を近づけると,@はブラシのついた金属棒でDのはくとつながっているから,静電誘導により@が正,Dが負に帯電する。

() 円板を矢印の向きに回転すると,@は正の電気をもったままA→B→Cの位置に移動し,正電荷は集電極T1の先端放電によってライデンびんP に集められる。同時にDはE→F→Gの位置に移動し,集電極T2を経てライデンびんQ に負電荷が集められる。

() 円板を回すと,次々に@,Dの位置にきたはくにそれぞれ正負の電荷が与えられ,ライデンびんPQに集められる。

 

バンデグラフ起電機

バンデグラフ起電機は,得た高電圧で電子・重陽子・イオンを加速する「加速器」として原子核実験に用いられており,2000万Xくらいの高電圧が得られるものもある。

1931年,バン・デ・グラフ(R.J.Van de Graaff)は,ベルトによって電荷を高電圧電極に運ぶ静電高圧発生装置を作成した。この原理は,1890年にすでにケルビンが発表していた。

一般に,金属球が高電圧になると,コロナ放電を行うが,1気圧の空気中では,(23)×106V/mの耐電圧しかないので,装置全体を1025気圧の適当なガス中に置くと,耐電圧を高めることができ,10MeVまでのエネルギーの粒子を得ることができる。

実験室用の小形のものでは,直流高電圧電源の部分を設けない。この場合は,ベルトとプーリーとの摩擦によってベルトに生じた正または負の電荷を,集電極を通じて頭部の金属球に集めることになる。使用に際しては,頭部の金属球内を十分に乾燥させておく必要があり,使用前には乾燥剤を入れておくとよい。条件がよければ,小形でも20万Xぐらいの電圧が得られる。

実験室用のバンデグラフ装置をはたらかせて,その近くにはく検電器を置くと,接触させないのにはくがいっぱいに開くのを生徒に見せることができる。これは同時に,電界の概念を生徒にはっきりつかませるのにも有効である。

 

 

 

 

 








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