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第3節 波の干渉と回折

 

直線を伝わる波から平面を伝わる波へ

波面と射線

波面と射線の扱い

水波投影器による波の演示実験

2つの波の干渉

波の干渉

波の回折


 

直線を伝わる波から平面を伝わる波へ

 直線を伝わる波は,媒質のつり合いの位置は直線(x)上にあり,波の位相は,この直線上で定義される。ある時刻の波の位相を調べると,位相がある値をとる位置はx軸上の1点に限られているこれに対して,水面波は,媒質の各点の振動の中心が平面(x-y)上にあり,水面波は平面を伝わる波といえる。波の位相は,この平面上で定義されている。ある時刻の波の位相を調べると,位相がある値をとる位置は曲線上に連なる。このような,x-y面上の曲線が波面である。

 

波面と射線

 波が伝わるときの媒質の各点は振動する。その振動が正弦関数

     Va(xyz)sin{(wtg(xyz)}       ………@

で表される波を考える。たとえば,関数aを定数a0とし,関数gとすれば,@式はx方向に伝わる正弦波を表す。すなわち,これは波動方程式の解となる。

 波の位相は正弦関数の角変数の部分であるから,@式の波の位相q

    qwtg(xyz)               ………A

と書ける。このように,波の位相q は時間tと位置(xyz)の関数である。ある時刻に,波の位相の等しい点を連ねると1つの曲面ができる。この曲面をその波の波面とよぶ。

 A式からわかるように,位相の値q1q2q3,……,qnのそれぞれに1枚の波面GlG2G3,……,Gnが対応する。したがって,ある時刻の波面は曲面の連続する列をなしている。そして,これらの曲面のすべてと垂直に交わる曲線が存在する。この曲線をその波の射線とよぶ。射線は波面が移動する方向を示している。

 一例として,小さい音源から一様な空気中に等方的に放出される音の波を考えよう。音源Oの角振動数をw1/s〕,初期位相をq0とし,音の波長をlm〕とする。音源からrm〕離れた位置の,音による空気圧の変化(音圧) pN/m2〕は

 

で表される。波の位相は正弦関数の角変数の部分であるから,位相q

 

である。ある時刻tの波の位相q は,音源Oからの距離rで決まる。すなわち,音源Oを中心とする球面上で位相は等しいので,この球面が波面である。また,C式からわかるように,波面の半径rが大きくなると位相q は小さくなる。

 これらの波面の列(同心球面)に直交する射線は,音源から放射状に伸びる直線である。またC式から,波面の移動速度がわかる。位相q  の波面の半径は,時間の経過とともに速さlw/2pで増加する。

 

波面と射線の扱い

 水面波について波面という用語を用いる場合は,水波を見慣れているだけに誤解を招きやすい。水の表面は曲面となって波の形に変形している。生徒は,この曲面を波面と間違えやすい。水面波の山や谷を表す曲線として,われわれはふつう“波紋”という語句を用いる。“波紋”が“波面”に最も近い語句といえるが,波紋は波の山や谷を大まかに記述するものであり,正確に言えば波面と異なる。また,山をなす水面の頂を連ねた曲線や谷をなす水面の底を連ねた曲線を波面と考えがちである。教科書p.19816において,波面はx-y面上の曲線であることに注意されたい。

 水面を伝わる波を思い起こさせながら,「水波や音波,光波などの,山・谷を表すにはどうしたらよいか」と問いかけて,図16で波面や射線を定義する。水波投影装置を用いて,円形波や直線波の波面を観察させ,波の進み方を理解させる。

 

水波投影器による波の演示実験

 2次元の波を見せる装置として,水波投影器がある。この装置により,あらゆる波動に共通な4つの性質―反射・屈折・回折・干渉―をきわめて明快に示すことができる。

 波の現象の投影 水波投影器の水槽に,深さ1.52.0cmぐらいまで水を入れる。水槽を水平に置き,その真下から強い小光源で照らして教室の天井に投影すると,多人数の生徒の観察に適する。教室の天井が投影に不適当な場合は,スクリーンを作る。ベニヤ板に白紙を貼ったものでよい。生徒実験として行うときは,光源

を上に置き,スクリーンとして床に広げた模造紙を使うとよい。

 このとき,水面に凹凸が生じると,凸のところが明るい縞に対応する。その部分が凸レンズのはたらきをするからである。振幅を変えると焦点距離が変わることに相当するので,振幅の調節により,鮮明な像をつくることができる。

 回転円板式ストロボスコープを通して水波を観察しながら回転数を変えていくと,回転数がある値のとき,波は静止しているように見える。また,回転数を少し変えるとゆっくり動いていくように見える。

 反  射 水槽中にパラフィンブロックまたは金属板を立て,平面波や円形波を入射させる。

 平面波をつくるには,薄い金属板を水面に接触させておき,急に引き上げるとよい。これを手動操作で一定周期でくり返す。

屈  折 水槽内に厚さ5mmぐらいの板を沈め,図のように斜め方向から平面波を当てる。ガラス板の一部を水槽のふちに乗せて,斜めに水中に入れると,連続して深さの変わる波,いわゆるいそ波の現象が再現できる。これらは,水波の速さが深さによって変わるためである。

 

回折・干渉 市販の装置では,モーターの駆動によって,2つの球が水面を連続的にたたいたり,OHP投影用には水面の2箇所に空気を吹きつけたりして波源とするものがある。簡単には,電磁おんさなどに等しい長さの2本の足を針金で作ってとり付け,その先端が水面に触れるようにして,おんさを振動させるとよい。

 回折を見る場合は,平面波の連続波源と,厚さ5mmのベニヤ板でつくった単スリットを配置する。スリットの幅を波長と同じ程度にすると,回折の度合いは著しく波は板の裏側にも進んでいく(教科書p.18519)。スリットの幅を波長の8倍にすると,回折は目立たなくなる (同図(c))。スリットの幅を一定にしておいて,波長を長くしても回折の度合いは著しくなる。方形の障害物を置き,波長を変化させると,教科書p.18519(b)(d)が確認できる。

 

2つの波の干渉

 2つの球面波による干渉は,音や光においても見られる現象である(教科書p.219音の干渉とうなり,p.251ヤングの実験)。音波や光波は,波そのものを眼で見ることはできず,干渉し合う波の全体像を眼でとらえることはできない。水面波の干渉は,音波や光波の干渉を理解するためのモデルとしても役に立つ現象である。

 2つの波が弱め合う場所の水面は,そこに波が来ているにもかかわらず振動しない。2つの波が到来して,水面が2倍の振幅で振動することは当然のことに思えても,振動しないことは何か不自然な気がする。干渉のしくみを,教科書p.20118を用いて理解させる。

 干渉の条件式は,実験からわかる事実として与え,教科書p.20289を解かせて理解を深める。ただし,条件式の導出は,数式に頼らず図形を用いて簡単にできるので,論理的な導入が望ましい。教科書p.201の干渉条件(4)(5)は,波源が同位相の場合に成り立つ式であること,また,これらの式は双曲線を表していることにも,生徒の注意を喚起したい。

 水波投影装置の水面で2つの円形波を干渉させ,波面の投影像を観察させる。教科書p.20017の写真に示されているように,弱め合う線や強め合う線は双曲線であること,また,強め合う線に沿って山と谷が外側に向かって進んでいくことなどを確認させる。これらの事実は,教科書p.211章末問題2の中にとり上げているので,解かせて理解を深めさせたい。

 

波の干渉

 水面波の干渉は,水波投影器を用いて生徒に観察させたい。第2章で音波の干渉,第3章で光波の干渉(ヤングの実験)をとり上げるが,それらの干渉を理解する上で,水面波の干渉はひな形としての意味をもっている。それだけに,実際の観察によって波の干渉のイメージを確かなものにすることが大切である。

 水面に浮かべるように配置した小球SlS2を,それぞれ同じ周期で単振動させる。このとき水面に生じる波動は,水面上に双曲線からなる干渉模様を作り出す。教科書の写真(p.20017)のように,水面のほとんど振動しない場所が何本かの双曲線の上に連なり,それらにはさまれた場所で水面は大きく振動する。この現象は,波の独立性と重ね合せの原理を用いて説明できる。

 小球の角振動数をω,振幅をa02つの球の位相差をdf とすると,それぞれの単振動は

   y1a0 sinwt,  y 2a0 sin(wtdf)

と書ける。片方の小球Slだけが振動する場合,その小球を波源にして球面波が水面上を広がる。水面波は厳密には横波ではない(1「水面の波と水の運動」参照)が,単純化して,水面波を横波であると考えよう。このモデル化された水面波の波長をとすると,水面の一点Pの振動は

 

で与えられる。同様にして,小球S2だけが振動する場合は,S2を波源にした球面波がP点を振動させる。その振動は

 

で与えられる。ここで,振幅a1a2P点から波源までの距離の関数である。

 両方の小球が振動すると,水面上には球面波の代わりに干渉模様が生じる。このときも小球S1S2は次々と球面波を送り出しており,一方の小球を出た波はあたかも自分たちだけしか波がないかのように伝わり,他方の球を出た波からは影響を受けない(波の独立性。ただし,これらの波の独立した挙動を観察することはできない)。実際に観察できるのは,2つの球面波を合成した波であり,その波による水面の振動が双曲線状の干渉模様を作る。波の重ね合せの原理より,水面の1Pの振動は

   yy1y2

で与えられる。

 単振動の合成は,参考円のベクトルを使うと簡単にできる。

下の図において,単振動y1をベクトルに対応づけ,単振動y2をベクトルに対応づけるとき,和のベクトルに対応する単振動が合成振動yである。

 

 2つの振動y1y2が互いに強め合うのは,振動の位相差がpの偶数倍の場合である。また,位相差がpの奇数倍の場合,振動は互いに弱め合う。y1y2の位相の差は,上の式からただちにわかるように,

 

である。このように位相差は,P点から波源までの距離S1PS2Pによって決まり,時間には無関係である。以上をまとめると,P点における波の干渉条件は

   

となる。ただし,mは整数である。

 とくに,波源S1S2が同じ位相の場合は,δφが0であるから,

   

また,波源S1S2が逆の位相の場合は,df pであるから,

 

以上の話はそのまま音波の干渉に適用できる。2つのスピーカーS1S2から振動数の同じ音を同じ強さで送ると,2つの音波は互いに干渉する(教科書p.219)。音波は水波と違って,波を目で直接に見ることはできない。しかし音波の場合にも,観測点を動かしながら音の強め合う位置や弱め合う位置を調べ,その強弱をそれぞれの位置に表示していけば,水波と同じ干渉模様を得ることができる。

 また,ヤングの実験のように,光の波でも水波と同様の干渉が生じる。しかし光の波を干渉させるには,波源S1S2に特別の工夫がいる。たんに2個の点光源をS1S2に置くだけでは,光波の干渉を観察することはできない。たとえば,ヤングの装置やフレネル鏡,ロイド鏡などの工夫が必要である(3章第4「いろいろなヤングの実験」)

 光波の光源はつきつめると原子や分子であり,1つの点光源といっても非常に多くの波源の集まりである。また波源が1つの光波を送り出す時間は,干渉を観測する時間に比べてきわめて短い時間である(108s程度)。さらに通常の光源では,1つの光波と他の光波の間の位相の関係が全く無秩序である。これらのことが,光波の干渉の観察を難しくしている。

 

波の回折

 音波は波長が長いので回折が起こりやすく,光波は波長が短いので回折しにくい。ラジオの電波は山間の路上でも受信できるが,テレビの電波は受信しにくい。このように,波の回折は,日常の生活の中で身近に起きている現象といえる。

 水波投影装置を用いて,水波が物体の裏側にも伝わる現象を観察させ,観察した事実に基づいて,回折現象の理解を図る。

 回折して物体の裏側へ入り込んだ波は,その波面を見ると直進していることがわかる。「波が回り込む」という表現をよく耳にするが,注意を要する。

 

 

 

 








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